\(A=a^3-b^3-ab=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)-ab\)
\(=a^2+ab+b^2-ab=a^2+b^2\)
Do \(a-b=1\Rightarrow b=a-1\)
\(\Rightarrow A=a^2+\left(a-1\right)^2=a^2+a^2-2a+1=2a^2-2a+1\)
\(=\left(2a^2-2a+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}=2\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}=2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\)
Ta thấy \(2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a\Rightarrow A=2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\forall a\) có GTNN là \(\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{2}-b=1\Rightarrow b=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\)
Vậy \(A_{min}=\frac{1}{2}\) tại \(a=\frac{1}{2};b=-\frac{1}{2}\)
