Question

Cho a, b ∈ Z thỏa mãn: \(a^3+b^3=2\)

Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(a+b\)

Answer 1

Lời giải:

$2=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Vì $a,b$ nguyên nên $a+b, a^2-ab+b^2$ cũng nhận giá trị nguyên 

$\Rightarrow a+b$ là ước của $2$

Mà $a^2-ab+b^2=(a-\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2\geq 0$ với mọi $a,b\in\mathbb{Z}$ và tích $(a+b)(a^2-ab+b^2)>0$ nên $a+b>0$

Xét các TH sau:

$a+b=1; a^2-ab+b^2=2$ thì:

$\Leftrightarrow a+b=1; (a+b)^2-3ab=2$

$\Leftrightarrow a+b=1; ab=\frac{-1}{3}$ (vô lý) 

Th2: $a+b=2; a^2-ab+b^2=1$ thì:

$\Leftrightarrow a+b=2; (a+b)^2-3ab=1$

$\Leftrightarrow a+b=2; ab=1$

$\Rightarrow a=b=1$ (tm) 

vậy chỉ có 1 giá trị $a+b$ thỏa mãn là $a+b=2$