Áp dụng BĐT: \(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(VT=\sqrt{3\left(a^2+6\right)}=\sqrt{3\left(a^2+a^2+b^2\right)}=\sqrt{3\left(2a^2+\frac{b^2}{2}+\frac{b^2}{2}\right)}\)
\(VT=\sqrt{3\left[\left(a\sqrt{2}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^2\right]}\ge a\sqrt{2}+\frac{b}{\sqrt{2}}+\frac{b}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\left(a+b\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{\frac{6}{5}}\\b=\sqrt{\frac{24}{5}}\end{matrix}\right.\)
cho a,b là 2 số dương thỏa mãn a2+b2=6
cmr \(\sqrt{3\left(a^2+6\right)}\ge\left(a+b\right)\sqrt{2}\)
Cho \(a;b;c\ge\dfrac{4}{3}\) thỏa mãn \(a+b+c=6\)
Tìm min: \(A=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{c}{c^2+1}\)
Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn \(a^2 + b^2 + c^2 \) \(\ne\) 0 và \(|a|, |b|, |c| < 10^6\). Chứng minh rằng: \(|a + b\sqrt2 + c\sqrt3| > \dfrac{1}{10^{21}}\)
cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. cmr :
\(\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}\ge a+b+c\)
cho a b c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1
cmr \(\sqrt{5a+1}+\sqrt{5b+1}+\sqrt{5c+1}< =2\sqrt{6}\)
a.tìm a+b+c=2\(\sqrt{a}+2\sqrt{b-3}+2\sqrt{c}\)
b.tìm x,y,z thỏa mãn x+y+z+8=2\(\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-2}+6\sqrt{z-3}\)
1 . Cho 3 số thực dương a,b,c. CMR::
\(\sqrt{\frac{a^3}{b^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{c^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^3}}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
2 . cho a, b, c là 3 số đôi một khác nhau thỏa mãn :
\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
CMR : \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa
a^2+b^2+c^2=3 chứng minh (2a^2)/(a+b^2 )+(2b^2)/(b+c^2 )+(2c^2)/(c+a^2 )≥a+b+c
Với a, b là các số thực dương thỏa mãn ab+a+b=1. CMR: \(\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}=\frac{1+ab}{\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}}\)
