Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Kim

Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

 

Phạm Thị Thùy Linh
3 tháng 5 2019 lúc 21:35

Xét hiệu :

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\)

\(=\frac{b+a}{ab}-\frac{4}{a+b}\)

\(=\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\)

\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)

\(=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)

\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\)

Có \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

Mà a , b dương \(\Rightarrow\)\(ab\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

Hay \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\left(đpcm\right)\)

Shinichi Kudo
3 tháng 5 2019 lúc 22:01

\(\frac{1}{a}\)\(\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\frac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)

\(\Rightarrow\)b( a  + b ) + a( a + b ) \(\ge\)4ab

\(\Leftrightarrow\)ab + b2 + a2 + ab - 4ab  \(\ge\)0

\(\Leftrightarrow\)a2  -  2ab + b2 \(\ge\)

\(\Leftrightarrow\)( a - b )2 \(\ge\)0 (  luôn đúng với \(\forall\)a , b)

Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

tth_new
4 tháng 5 2019 lúc 10:32

Bạn tham khảo bài làm của mình tại đây: Câu hỏi của Phạm Thị Thắm Phạm - Toán lớp 8 


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Hữu Lâm
Xem chi tiết
phạm ngọc nhi
Xem chi tiết
Hoàng Thị Thúy
Xem chi tiết
Cao Tran Tieu Doan
Xem chi tiết
didudsui
Xem chi tiết
Nguyễn Hữu Lâm
Xem chi tiết
zZz Cool Kid_new zZz
Xem chi tiết
JESSICA
Xem chi tiết
Lê Trường Lân
Xem chi tiết