Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm:
\(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\)
\(b^2+1\ge2\sqrt{b^2}=2b\)
\(a^2+1\ge2\sqrt{a^2}=2a\)
Cộng từng vế của các BĐT trên:
\(2\left(a^2+b^2+1\right)\ge2\left(ab+a+b\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=1\))
\(VT-VP=\frac{\left(2a-b-1\right)^2+3\left(b-1\right)^2}{4}\ge0\)
a) Cho \(a;b\ge0\)
CMR: \(a+b\ge\frac{12a+b}{9+ab}\)
b) Cho \(a^2+b^2\ge\frac{1}{4}\)
CMR: \(a^4+b^4\ge\frac{1}{32}\)
Cho a,b>0.CMR:1)\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
2)\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)
3)\(a^5+b^5\ge ab\left(a^3+b^3\right)\ge a^2b^2\left(a+b\right)\)
p/s: làm bình thường thôi nhá, đừng áp dụng định lí gì cả
cho a, b, c>0. CMR a\(\frac{a^3}{b}\ge a^2+ab-b^2\)
CM \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác CM \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Cho a và b là 2 số thực dương
CMR\(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge a+b+1\) :
Cho a, b > 0 và a + b = 1. CMR : 1/ab + 1/a2 + b2 \(\ge\)6
Cho a≥1 b≥1 thỏa mãn: a≥1 b≥1:
CMR
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
Cho 2 số a,b thoả mãn a+b=1. CMR a3+b3+ab\(\ge\)\(\frac{1}{2}\)
Cmr với mọi a, b , c thì:
\(1,\left(a-b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca\)
\(2,a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(3,a^2+b^2+1\ge a^2+b+ab\)
