Chia cả 2 vế của giả thiết cho a,b,c ta được :
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\leftrightarrow\)khi đó bài toán trở thành :
\(xy+yz+zx+x+y+z=6\)
Chứng minh rằng \(x^2+y^2+z^2\ge3\)
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2\sqrt{x^2}=2x\\y^2+1\ge2\sqrt{y^2}=2y\\z^2+1\ge2\sqrt{z^2}=2z\end{cases}}< =>x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(*)
Tiếp tục sử dụng AM-GM ta có :
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\\y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\\z^2+x^2=2\sqrt{z^2x^2}=2zx\end{cases}< =>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge}2\left(xy+yz+zx\right)\)(**)
Cộng theo vế bất đẳng thức (*) và (**) ta được :
\(3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\left(xy+yz+zx+x+y+z\right)=2.6=12\)
\(< =>x^2+y^2+z^2+1\ge\frac{12}{3}=4< =>x^2+y^2+z^2\ge3\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1< =>a=b=c=1\)
