Question

Cho a, b, c thỏa mãn: (1/a)+(1/b)+(1/c)=1/(a+b+c)

Chứng minh rằng: M = [(a^19)+(b^19)].[(b^5)+(c^5)].[(c^2001)+(a^2001)]=0

Answer 1

ĐK: a,b,c \(\ne\) 0

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\)

Lại có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\)

Với \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a}\)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{b+c}{bc}=0\) \(\Rightarrow\) b + c = 0 (vì bc \(\ne\) 0 do a,b,c \(\ne\) 0)

\(\Rightarrow\) b = -c \(\Rightarrow\) b⁵ = (-c)⁵ \(\Rightarrow\) b⁵ + c⁵ = 0

Thay b⁵ + c⁵ = 0 vào M ta được:

M = (a¹⁹ + b¹⁹).(b⁵ + c⁵).(c²⁰⁰¹ + a²⁰⁰¹)

M = (a¹⁹ + b¹⁹).0.(c²⁰⁰¹ + a²⁰⁰¹)

M = 0 (đpcm)

Chúc bn học tốt!