Question

mọi người giúp em với ạ

Cho \( a, b, c \) là các số thực dương và \( a + b + c = 3 \)

Chứng minh rằng sau:

\[ a^8 + b^8 + c^8 + 5 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq 18 \]

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{3^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{3}=3\)

\(\Rightarrow5\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge5.3=15\left(1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức lũy thừa bậc \(8\), ta có:

\(\dfrac{a^8+b^8+c^8}{3}\ge\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^8=\left(\dfrac{3}{3}\right)^8=1\)

\(\Rightarrow a^8+b^8+c^8\ge3\left(2\right)\)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow a^8+b^8+c^8+5\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3+15=18\left(đpcm\right)\)