Question

Cho a, b, c là các số thực dương thõa mãn : \(a^2+b^2+c^2=3\). Chứng minh rằng \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)\).

Answer 1

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\sqrt{2}.\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{2}.\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{2}.\sqrt{c^2+a^2}\right)\)

\(VT\ge\sqrt{2}.\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\ge\sqrt{2}.\frac{9}{2\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\left(1\right)\)

\(VP\le\frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow VT\ge VP\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Answer 2

Akai Haruma dạ giúp em bài này vs ạ ...!!!

Answer 3

@Akai Haruma

Answer 4

Doan Minh Cuong dạ giúp em bài này với .

Answer 5

Nguyễn Việt Lâm anh giúp em nhé !!!

Answer 6

Hoàng Thị Thu Huyền Bùi Thị Vân dạ giúp em bài này vs ạ ..!