a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
Nhân 2 vào từng vế của bất đẳng thức
<=> 2( a2 + b2 + c2 ) ≥ 2( ab + bc + ca )
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( c2 - 2ca + a2 ) ≥ 0
<=> ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( c - a )2 ≥ 0 ( đúng )
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)
b) a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2( a + b + c )
<=> a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2a + 2b + 2c
<=> a2 + b2 + c2 + 3 - 2a - 2b - 2c ≥ 0
<=> ( a2 - 2a + 1 ) + ( b2 - 2b + 1 ) + ( c2 - 2c + 1 ) ≥ 0
<=> ( a - 1 )2 + ( b - 1 )2 + ( c - 1 )2 ≥ 0 ( đúng )
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
a)
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) ( 1 )
\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\cdot2\)
\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(a^2-2ab+b^2+b^2-2ac+c^2+a^2-2ac+c^2\ge0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\left(llđ\right)\)
Vậy ( 1 ) đúng ( đpcm )
b)
\(a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\) ( 1 )
\(a^2+b^2+c^2+3-2\left(a+b+c\right)\ge0\)
\(a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1\ge0\)
\(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\left(llđ\right)\)
Vậy ( 1 ) đúng ( đpcm )
