Question

Cho a, b, c \(\in\)\([0,1]\). Chứng minh:

\(\dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ac}+\dfrac{c}{1+ab}\le2\)

 

Answer 1

Lời giải:
Do $0\leq a,b,c\le1 1$ nên: \(\text{VT}\leq \frac{a+b+c}{1+abc}\)

Giờ ta cần cm: $a+b+c\leq 2(1+abc)(*)$

Thật vậy:
$c(a-1)(b-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow c(ab-a-b+1)\geq 0$

$\Leftrightarrow abc\geq ac+bc-c$

$\Leftrightarrow 2(abc+1)\geq ac+bc-c+abc+2$

Mà:

$ac+bc-c+abc+2-(a+b+c)=abc+(a+b)(c-1)-2(c-1)$

$=abc+(a+b-2)(c-1)\geq 0$ với mọi $0\leq a,b,c\leq 1$

$\Rightarrow ac+bc-c+abc+2\geq a+b+c$

$\Rightarrow 2(abc+1)\geq a+b+c$

Do đó BĐT $(*)$ đúng nên ta có đpcm.