Question

Cho a + b + c + ab + ac + bc = 6 và a, b, c > 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

P = a³/b + b³/c + c³/a

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz dạng engel:

\(P=\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)

lại có theo AM-GM :\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2\)(*)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)+\left(c^2+1\right)\ge2a+2b+2c\)(1)

và \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)(2)

cộng theo vế (1) và (2): \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)=12\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)(**)

từ (*) và (**) ta có \(P\ge3\)

đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1