Bài này có gì khó đâu nhỉ?
Ta có: \(2a^3+1=a^3+a^3+1\ge3\sqrt[3]{a^6}=3a^2\)
Tương tự:\(2b^3+1\ge3b^2;2c^3+1\ge3c^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên: \(2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\)
Suy ra \(a^3+b^3+c^3\ge3^{\left(dpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Cho a, b, c>0 và a+b+c\(\ge3\)
Cmr:
\(\dfrac{a^2}{a+\sqrt{bc}}+\dfrac{b^2}{b+\sqrt{ac}}+\dfrac{c^2}{c+\sqrt{ab}}\ge\dfrac{3}{2}\)
Cho a,b,c>0 và thỏa mãn điều kiện: a+b+c+ab+bc+ca=6
CMR: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\ge3\)
Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc = 1 CMR :
\(\dfrac{a+3}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{b+3}{\left(b+1\right)^2}+\dfrac{c+3}{\left(c+1\right)^2}\ge3\)
Cho a,b,c>0 tm a+b+c=6
CMR \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge3\)
Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=3. CMR: \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\)\(\ge3\)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: a+b+c=3 và \(M=\sqrt{a^2+2ab+2b^2}+\sqrt{b^2+2bc+2c^2}+\sqrt{c^2+2ca+2a^2}\). CMR: \(M\ge3\sqrt{5}\)
(4)Bài 1:Với \(\forall\) a>b>0. CMR: a+ \(\frac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\)
(7) Bài 2: Cho a,b,c \(\ne\) 0 .CMR: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
(8) Bài 3: Cho a,b,c>0 thõa mãn abc=1
CMR: \(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
Bài 1: Cho \(a,b,c>0\)thỏa \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:
\(\sqrt[3]{a+2b}+\sqrt[3]{b+2c}+\sqrt[3]{c+2a}\le3\sqrt[3]{3}\)
Bài 2: Cho \(a,b,c\in\left[-2;2\right]\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:
\(\sqrt{4-a^2}+\sqrt{4-b^2}+\sqrt{4-c^2}\le3\sqrt{3}\)
Bài 3: Cho \(a,b,c>0\)
a) Có \(ab+bc+ac=3\). CMR: \(a^3+b^3+c^3\ge3\)
b) Có \(a^3+b^3+c^3=3\). CMR: \(a^5+b^5+c^5\ge3\)
c) Có \(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3\). CMR: \(a^7+b^7+c^7\ge3\)
Bài 4: Cho \(a,b,c,m,n>0\). CMR:
\(a^{m+n}+b^{m+n}+c^{m+n}\ge a^m\cdot b^n+b^m\cdot c^n+c^m\cdot a^n\)
Bài 5: Cho \(a,b,c>0\)thỏa \(a+b+c=3\)
Tìm min\(A=4a^2+6b^2+3c^2\)
Bài 6: Cho \(a,b>0\)và \(a+b\le1\)
a) Tìm min\(A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\)
b) Tìm min\(A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2}\)
Cho a,b,c dương thỏa mãn: \(a^2+b^2+c^2=3\).CMR: \(a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}\ge3\)
