Bài 1: Cho \(a,b,c>0\)thỏa \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:
\(\sqrt[3]{a+2b}+\sqrt[3]{b+2c}+\sqrt[3]{c+2a}\le3\sqrt[3]{3}\)
Bài 2: Cho \(a,b,c\in\left[-2;2\right]\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:
\(\sqrt{4-a^2}+\sqrt{4-b^2}+\sqrt{4-c^2}\le3\sqrt{3}\)
Bài 3: Cho \(a,b,c>0\)
a) Có \(ab+bc+ac=3\). CMR: \(a^3+b^3+c^3\ge3\)
b) Có \(a^3+b^3+c^3=3\). CMR: \(a^5+b^5+c^5\ge3\)
c) Có \(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3\). CMR: \(a^7+b^7+c^7\ge3\)
Bài 4: Cho \(a,b,c,m,n>0\). CMR:
\(a^{m+n}+b^{m+n}+c^{m+n}\ge a^m\cdot b^n+b^m\cdot c^n+c^m\cdot a^n\)
Bài 5: Cho \(a,b,c>0\)thỏa \(a+b+c=3\)
Tìm min\(A=4a^2+6b^2+3c^2\)
Bài 6: Cho \(a,b>0\)và \(a+b\le1\)
a) Tìm min\(A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\)
b) Tìm min\(A=\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2}\)
Bài 3:(dài quá,đăng từ câu):
a)Từ giả thiết suy ra \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge3\Rightarrow a+b+c\ge3\)
BĐT \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\)
Mà \(VT\ge3\left(a^3+b^3+c^3\right)\). Do đó ta chứng minh một BĐT chặt hơn là:
\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+3abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)+2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left[ab\left(a+b\right)+bc\left(c+b\right)+ca\left(c+a\right)\right]\) (*)
Để ý rằng theo Cô si: \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) (1) và
\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left[ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\right]\ge0\) (2)
Do \(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\). Tương tự với hai BĐT còn lại suy ra (2) đúng (3)
Từ (1) và (2) và (3) suy ra (*) đúng hay ta có đpcm.
Bài ngắn làm trước:
Bài 5: Dự đoán xảy ra đẳng thức khi a=1; b=2/3; c=4/3. Ta biến đổi như sau:
\(A=\left(4a^2+4\right)+\left(6b^2+\frac{8}{3}\right)+\left(3c^2+\frac{16}{3}\right)-12\)
\(\ge2\sqrt{4a^2.4}+2\sqrt{6b^2.\frac{8}{3}}+2\sqrt{3c^2.\frac{16}{3}}-12\)
\(=8\left(a+b+c\right)-12=8.3-12=12\)
Dấu "=" xảy ra khi ....
Bài này dùng wolfram alpha cho lẹ, đi thi không dùng được thì em dùng "cân bằng hệ số"
Bài 2: Ối giờ ôi, không ngờ điểm rơi lại xảy ra "đẹp" như vậy! a = b = c = 1
TXĐ....
Áp dụng BĐT Cô si ngược:
\(\sqrt{3}.VT=\sqrt{3\left(4-a^2\right)}+\sqrt{3\left(4-b^2\right)}+\sqrt{3\left(4-c^2\right)}\)
\(\le\frac{7-a^2}{2}+\frac{7-b^2}{2}+\frac{7-c^2}{2}=\frac{21}{2}-\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}\)
\(\le\frac{21}{2}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=\frac{21}{2}-\frac{3}{2}=9\)
Suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c=1
Lại một bài có đẳng thức đẹp:D
Bài 1:
\(\sqrt[3]{9}VT=\sqrt[3]{3.3.\left(a+b+b\right)}+\sqrt[3]{3.3\left(b+c+c\right)}+\sqrt[3]{3.3.\left(c+a+a\right)}\)
\(\le\frac{3+3+a+b+b}{3}+\frac{3+3+b+c+c}{3}+\frac{3+3+c+a+a}{3}\)
\(=6+\left(a+b+c\right)=9\)
Suy ra đpcm.
ĐẲng thức xảy ra khi a = b =c =1
Bài 6:
a) \(A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{6ab}+\frac{1}{3ab}\)
\(\ge\frac{4}{1+\left(a+b\right)^2+4ab}+\frac{1}{\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2}\)
\(\ge\frac{4}{1+2\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{3\left(a+b\right)^2}\ge\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}\)
Giải dấu "=" ra được a = b = 1/2
b)Để sau
Bài 3:
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel \(VT=\frac{a^6}{a}+\frac{b^6}{b}+\frac{c^6}{c}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)
Mặt khác từ giả thiết ta có \(9=\left(a^3+1+1\right)+\left(b^3+1+1\right)+\left(c^3+1+1\right)\ge3\left(a+b+c\right)\Rightarrow a+b+c\le3\) thay vào suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
