Question

Cho a, b, c > 0. CMR:

a, \(\frac{a^3+b^3}{ab}+\frac{b^3+c^3}{bc}+\frac{c^3+a^3}{ca}\ge2\left(a+b+c\right)\)

b, \(\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

c, \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\)

Giúp mình với các bạn ơiii

Answer 1

a) Bổ đề: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\forall x,y>0\)

\(\frac{a^3+b^3}{ab}+\frac{b^3+c^3}{bc}+\frac{c^3+a^3}{ca}\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{ab}+\frac{bc\left(b+c\right)}{bc}+\frac{ca\left(c+a\right)}{ca}=2\left(a+b+c\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Answer 2

Cảm ơn bạn nhiều nhé Nhật Pháp soi chiếu thế gian. Nếu có thể, mong bạn hãy giúp mình những phần còn lại ^^

Answer 3

c) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\(\frac{a^3}{b}+\frac{a^3}{b}+b^2\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b}.\frac{a^3}{b}.b^2}=3a^2\);

\(\frac{b^3}{c}+\frac{b^3}{c}+c^2\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3}{c}.\frac{b^3}{c}.c^2}=3b^2\);

\(\frac{c^3}{a}+\frac{c^3}{a}+a^2\ge3\sqrt[3]{\frac{c^3}{a}.\frac{c^3}{a}.a^2}=3c^2\)

Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên ta đươc:

 \(2\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)+a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Answer 4

b. Cố nốt

Áp dụng bđt AM-GM:

\(\frac{a^2}{b^3}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2}{b^3}.\frac{1}{a}.\frac{1}{a}}=3.\frac{1}{b}\)

Áp dụng tương tự rồi cộng theo từng vế là ra.

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Answer 5

Cảm ơn bạn rất rất nhiều <333