bình phương 2 vế ta có:
\(aa'+bb'+2\sqrt{aa'bb'}=\left(a+b\right)\left(a'+b'\right)\)
\(\Rightarrow2\sqrt{aa'bb'}=ab'+a'b\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{ab'}-\sqrt{a'b}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab'}-\sqrt{a'b}=0\Rightarrow\sqrt{ab'}=\sqrt{a'b}\Rightarrow ab'=a'b\Rightarrow\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}\left(đpcm\right)\)
Bài 1;Cho x,y thoã mãn 0<x<1 ; 0<y<1 và \(\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}=1\)tính P=\(x+y+\sqrt{x^2-xy+y^2}\)
Bài 2 : Cho 3 số dương a,b,c thoã mãn \(a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\)Chứng minh rằng \(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
Bài 3 cho các số a,b,c,d dương thoã mãn \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)Chứng minh rằng \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
cho a,b,c >0 chứng minh rằng \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}>=\frac{\left(a+b+c+\sqrt[3]{abc}\right)^{ }}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 5 và \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\). chứng minh rằng: \(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\).
Chứng minh rằng \(\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{c+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\le4\left(\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}-1\right)^2}{\sqrt{c}}+\frac{\left(\sqrt{c}-1\right)^2}{\sqrt{a}}\right)\)
Cho a,b,c,d và A,B,C,D là các số dương thỏa \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)
C/m \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)
Cho a,b,c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng
\(\sqrt{\frac{bc}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\ge1+\frac{4abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
cho a,b,c >0 chứng minh rằng \(\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}>=2\left(\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}\right)\)
chứng minh rằng nếu a, b, c và a', b', c' là độ dài các cạnh của 2 tam giác đồng dạng thì: \(\sqrt{aa'}+\sqrt{bb'}+\sqrt{cc'}=\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a'+b'+c'\right)}\)
Cho: \(a>0,\) \(b>0\)
Chứng minh rằng: \(\sqrt{a}\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-1\right)\ge\sqrt{b}\left(1-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)\)
