a) Đặt \(x=\sqrt{a+\sqrt{b}}+\sqrt{a-\sqrt{b}}\)Vì x > 0 \(\Rightarrow x=\sqrt{x^2}\)
\(\Rightarrow x^2=2a+2\sqrt{a^2-b}=4\left(\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}\right)\)\(\Rightarrow x=2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\)hay \(\sqrt{a+\sqrt{b}}+\sqrt{a-\sqrt{b}}=2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\)(1)
Tương tự : Đặt \(y=\sqrt{a+\sqrt{b}}-\sqrt{a-\sqrt{b}}\)
Xét biểu thức \(\sqrt{a+\sqrt{b}}-\sqrt{a-\sqrt{b}}>0\Leftrightarrow a+\sqrt{b}>a-\sqrt{b}\Leftrightarrow\sqrt{b}>0\)(luôn đúng)
Do đó : \(y>0\) \(\Rightarrow y=\sqrt{y^2}\)
Ta có : \(y^2=2a-2\sqrt{a^2-b}=4\left(\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}\right)\Rightarrow y=2\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)hay \(\sqrt{a+\sqrt{b}}-\sqrt{a-\sqrt{b}}=2\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được : \(\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)(đpcm)
Câu b) bạn làm tương tự nhé!
