Question

Cho 6a-5b=1. Tìm GTNN của\(4a^2+25b^2\)

Answer 1

Đặt \(x=2a;y=-5b\)

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:

\(\left(x^2+y^2\right)\left(9+1\right)\ge\left(3x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(3x+y\right)^2}{10}=\frac{\left(6a-5b\right)^2}{10}=\frac{1}{10}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{3}{x}=\frac{1}{y}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{3}{20}\\b=\frac{-1}{50}\end{cases}}\)

Vậy GTNN của \(4a^2+25b^2=\frac{1}{10}\) tại \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{3}{20}\\b=\frac{-1}{50}\end{cases}}\)