cho 3 số thực dương a;b;c thỏa mãn
\(7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+2015\)
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x>0;\frac{1}{b}=y>0;\frac{1}{c}=z>0\)
Từ giả thiết ta có: \(7\left(x^2+y^2+z^2\right)=6\left(xy+yz+zx\right)+2015\le6\left(x^2+y^2+z^2\right)+2015\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le2015\)
Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}=\frac{1}{\sqrt{\left(4a^2+b^2\right)+\left(2a^2+2b^2\right)}}\le\frac{1}{\sqrt{4a^2+b^2+4ab}}=\frac{1}{2a+b}=\frac{1}{a+a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{9}\left(2x+y\right)\)
Tương tự thì: \(\frac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}\le\frac{1}{9}\left(2y+z\right)\) và \(\frac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\le\frac{1}{9}\left(2z+x\right)\)
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta có: \(\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\le\frac{x+y+z}{3}\le\frac{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}}{3}\le\sqrt{\frac{2015}{3}}\)
Vậy max \(P=\sqrt{\frac{2015}{3}}\) , đạt được khi \(a=b=c=\sqrt{\frac{3}{2015}}\)
