Question

Cho 3 số thực dương a, b, c. CMR:

\(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}\le\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)

Làm từng bước, ko bỏ bước nào. TKS A LOT!

Answer 1

BĐT sẽ tương đương với \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}\right)< =3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

=>\(a^2+b^2+c^2+2abc\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)>=2\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}>=\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)

=>Để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh 

a^2+b^2+c^2+9abc/(a+b+c)>=2(ab+bc+ac)

Đây chính là BĐT Schur dạng phân thức nên ta có ĐPCM