Hằng đẳng thức quen thuộc: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{6}\)
khi đó \(vT=\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{6}+abc=\frac{a^3+b^3+c^3+3abc}{6}\)
Cần chứng minh \(a^3+b^3+c^3+3abc\ge48\)
ta có: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=216-3\left(6-a\right)\left(6-b\right)\left(6-c\right)\)
\(=216-18\left(ab+bc+ca\right)+3abc\)
do đó \(VT=216-18\left(ab+bc+ca\right)+6abc\)(*)
ta có bất đẳng thức phụ sau : với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác thì \(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
# : cách CM: dùng AM-GM lên google mà surt
ÁP dụng :\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)=\left(6-2a\right)\left(6-2b\right)\left(6-2c\right)\)
\(abc\ge24\left(ab+bc+ca\right)-8abc-216\)\(\Leftrightarrow9abc\ge24\left(ab+bc+ca\right)-216\)
\(\Leftrightarrow6abc\ge16\left(ab+bc+ca\right)-144\)(**)
từ (*) và (**) ta có: \(VT\ge72-2\left(ab+bc+ca\right)\ge72-2.\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)(AM-GM)
\(\Leftrightarrow VT\Rightarrow72-\frac{2}{3}.36=48\)(đpcm)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=2
