Bình phương vế trái : \(\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+zx\right)+2\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+2\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+2\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\)
Bình phương vế phải : \(\left(1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2=\left(xy+yz+zx+1\right)+2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{zx}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+x\sqrt{yz}\)Vì a+b+c = 1 nên suy ra :
\(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge\)
\(\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+x\sqrt{yz}+z\sqrt{xy}+y\sqrt{xz}\) (*)
Mặt khác, áp dụng bđt Bunhiacopxki , ta có :
\(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}\ge\sqrt{x.y}+\sqrt{yz.zx}=\sqrt{xy}+z\sqrt{xy}\)
Tương tự : \(\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{yz}+x\sqrt{yz}\) ; \(\sqrt{x+yz}.\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xz}+y\sqrt{xz}\)
Cộng các bđt trên theo vế được (*) đúng
Vậy bđt ban đầu được chứng minh.
ta chứng minh \(\sqrt{x+yz}\ge x+\sqrt{yz}\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow x+yz\ge x^2+2x\sqrt{yz}+yz\Leftrightarrow1\ge x+2\sqrt{yz}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge x+2\sqrt{yz}\Leftrightarrow y+z\ge2\sqrt{yz}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0\)do đó (1) đúng
tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{y}+\sqrt{xz}\ge y+\sqrt{xz}\left(2\right)\\\sqrt{z}+\sqrt{xy}\ge z+\sqrt{xy}\left(3\right)\end{cases}}\)
từ (1); (2) và (3) ta suy ra
\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=\(\frac{1}{3}\)
Sử dụng Bunhiacopski:
\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x^2+\sqrt{yz}\)
Tương tự: \(\sqrt{y+zx}\ge y+\sqrt{zx};\sqrt{z+xy}\ge z+\sqrt{xy}\)
Khi đó:
\(LHS\ge x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(=1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
