Câu hỏi của phan tuấn anh

Question

cho 2015 số nguyên dương a1;a2;...;a2015 thỏa mãn điều kiện

$\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_3}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\ge89$

chứng minh rằng trong 2015 số nguyên dương đó luôn tồn tại ít nhất 2 sô bằng nhau

Nguyễn Tuấn Anh · Accepted Answer

Vì $a_1,a_2,....,a_{2015}$là các số nguyên dương, để không mất tính tổng quát ta giả sử $a_1\le a_2\le a_3\le.....\le a_{2015}$Suy ra$a_1\ge1,a_2\ge2,.......,a_{2015}\ge2015$ Vậy ta có $A=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+..........+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\le\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+.....+\frac{1}{\sqrt{2015}}=B$$B=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+.....+\frac{2}{\sqrt{2015}+\sqrt{2015}}<1+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+.....+\frac{2}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}=C$Ta có trục căn thức ở mẫu của $C$Ta có: $C=2\left(\sqrt{2015}-\sqrt{2014}+\sqrt{2014}-\sqrt{2013}+.....+\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+1=2\left(\sqrt{2015}-\sqrt{1}\right)+1$Mà: $C=2\left(\sqrt{2015}-\sqrt{1}\right)+1<89$Trái với giả thiết Vậy tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau trong 2015 số nguyên dương đóCâu trả lời: Vì $a_1,a_2,....,a_{2015}$là các số nguyên dương, để không mất tính tổng quát ta giả sử $a_1\le a_2\le a_3\le.....\le a_{2015}$Suy ra$a_1\ge1,a_2\ge2,.......,a_{2015}\ge2015$ Vậy ta có $A=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+..........+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\le\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+.....+\frac{1}{\sqrt{2015}}=B$$B=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+.....+\frac{2}{\sqrt{2015}+\sqrt{2015}}<1+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+.....+\frac{2}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}=C$Ta có trục căn thức ở mẫu của $C$Ta có: $C=2\left(\sqrt{2015}-\sqrt{2014}+\sqrt{2014}-\sqrt{2013}+.....+\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+1=2\left(\sqrt{2015}-\sqrt{1}\right)+1$Mà: $C=2\left(\sqrt{2015}-\sqrt{1}\right)+1<89$Trái với giả thiết Vậy tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau trong 2015 số nguyên dương đó