Ta có: \(2a^2+a=3b^2+b\)
\(\Leftrightarrow\left(2a^2-2b^2\right)+\left(a-b\right)=b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2a+2b\right)\left(a-b\right)+\left(a-b\right)=b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2a+2b+1\right)\left(a-b\right)=b^2\)
*CM 2a+2b+1 và a-b nguyên tố cùng nhau
=> 2a+2b+1 cũng là 1 SCP
Ta có:
\(2a^2+a=3b^2+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2-2b^2+a-b=b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2\)
Ta có:
Đặt \(d=\left(a-b,2a+2b+1\right)\).
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-b⋮d\\2a+2b+1⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2⋮d^2\Rightarrow b⋮d\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)+b=a⋮d\)
\(\Rightarrow\left(2a+2b+1\right)-2a-2b=1⋮d\Rightarrow d=1\).
Do đó \(a-b,2a+2b+1\)là hai số chính phương.
2a2 + a = 3b2 + b => 2a2 - 2b2 + a - b = b2 => 2.(a - b).(a + b) + (a - b) = b2
=> (a - b). (2a + 2b + 1) = b2 (1)
Gọi d = ƯCLN (a-b; 2a + 2b + 1)
=> a - b chia hết cho d và 2a + 2b + 1 chia hết cho d
=> b2 = (a - b). (2a + 2b + 1) chia hết cho d2
=> b chia hết cho d
Lại có 2(a - b) - (2a + 2b + 1) chia hết cho d => -4b - 1 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d => d =1 => a - b và 2a + 2b + 1 nguyên tố cùng nhau (2)
(1)(2) => a- b và 2a + 2b + 1 đều là số chính phương
