Ta có BDT luôn đúng \(\left(a-b\right)^2\ge0\) \(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\) \(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\). Do \(a^2+b^2\le2\) nên \(2\left(a^2+b^2\right)\le4\).
Do đó \(\left(a+b\right)^2\le4\) \(\Leftrightarrow-2\le a+b\le2\), suy ra đpcm. ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=1\)
Cho a, b, c với \(-1\le a,b,c\le2\) thỏa mãn điều kiện \(a^2+b^2+c^2=6\). CMR \(a+b+c\ge0\)
B1: Cho \(0\le a,b,c\le2\) thỏa mãn \(a+b+c=3\). CMR: \(a^2+b^2+c^2\le5\)
B2: Cho \(a,b\ge0\) thỏa mãn \(a^2+b^2=a+b\). TÌm GTLN \(S=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}\)
B3: CMR: \(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\forall x\ne y,xy\ne0\)
Xét các số thực a,b,c thay đổi thỏa mãn \(0\le a\le1\le b\le2\le c\) và \(a+b+c=5\) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=a^2+b^2+c^2\) .
Cho \(a^2+b^2\le2\) CMR \(a+b\le2\left(a+b\right)^3\)
Cho 2 số a,b ko âm thỏa mãn:\(a^2+b^2\le2\).Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=a\sqrt{15ab+10b^2}+b\sqrt{15ab+a^2}\)
Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x+y=2. CMR: \(x^5y^3+y^5x^3\le2\)
cho \(a;b;c>0\)thỏa mãn \(\frac{a^2+b^2}{a^3+b^3+1}+\frac{b^2+c^2}{b^3+c^3+1}+\frac{c^2+a^2}{c^3+a^3+1}\le2\)CMR: \(a+b+c\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
Cho x;y;z là các số thực bất kì và a;b;c là các số dương thỏa mãn \(ax+by+cz=0\)
Chứng minh rằng
\(xy+yz+zx\le0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le2\left(ab+bc+ca\right)\)
cho 2 số thực x và y thỏa mãn các điều kiện \(1\le x\le2\), \(1\le y\le2\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(A=\frac{x+2y}{x^2+3y+5}+\frac{y+2x}{y^2+3x+5}+\frac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)
