Question

Cho 2 số dương x và y x+y = 1 . Tìm GTNN của \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

Answer 1

Mình ko chắc lắm :

Áp dụng BĐT AM - GM ta có :

\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

\(=\frac{x^2y^2+1}{y^2}.\frac{x^2y^2+1}{x^2}=\frac{x^4y^4+2x^2y^2+1}{x^2y^2}\)

\(=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)

\(\ge2\sqrt{x^2y^2.\frac{1}{256x^2y^2}}+\frac{255}{256.\left(xy\right)^2}+2\)

\(\ge2.\frac{1}{16}+\frac{255}{256.\left(\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\right)^2}+2\)

\(=\frac{1}{8}+\frac{255}{256.\left(\frac{1}{4}\right)^2}+2=\frac{289}{16}\)

Khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Chúc bạn học tốt !!!