Cho 2 đường tròn đồng tâm (O;R) và ( O;r). Dây AB cảu (O;R) tiếp xúc với(O;r).Trên tia AB lấy điểm E sao cho B là trung điểm đoạn AE. Từ E vẽ tiếp tuyển thứ 2 của (O;r) cắt (O;R) tại C và D( D ở giữa E và C)
a. CM: EA=EC
b. CM: EO vuông góc BD
c. Điểm E chạy trên đường nào khi dây AB của (O;R) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với (O;r)?
a/ Vì E là giao điểm của 2 tiếp tuyến của đường tròn (O;r) nên EF = EF' (1)
Dễ dàng chứng minh được \(\Delta OAF=\Delta OF'C\left(\text{2 cạnh góc vuông}\right)\)
=> AF = CF' (2)
Cộng (1) và (2) theo vế được ĐPCM
b/ Từ AF = 2CF' suy ra được AB = CD
ta chứng minh được AE = EC
kết hợp hai điều trên suy ra được tam giác ABD là tam giác cân có
OE là tia phân giác (E là giao điểm hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra đpcm
c/ Ta có AB = BE , AF = FB
=> \(OE=\sqrt{OF^2+EF^2}=\sqrt{r^2+\left(3AF\right)^2}=\sqrt{r^2+9.\left(R^2-r^2\right)}\)
\(\sqrt{9R^2-8r^2}\) không đổi. Mà O cố định nên E thuộc \(\left(O;\sqrt{9R^2-8r^2}\right)\)
