Cho 2 điểm A,B cố định nằm trên (O:R). Trên tia đối của tia BA lấy điểm S ; kẻ hai tiếp tuyến SM , SN tới (O) . Gọi H là trung điểm AB , đường thẳng MN cắt SO tại E . a, CM: bốn điểm S,M,H,O cùng nằm trên một đường tròn b, CM: góc SMB = góc SAM và SE.SO = SA.SB c, CM: khi S di động trên tia đối của tia BA thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
a: ΔOAB cân tại O
mà OH là đường trung tuyến
nên OH⊥AB tại H
Xét tứ giác SMHO có \(\hat{SMO}=\hat{SHO}=90^0\)
nên SMHO là tứ giác nội tiếp
=>S,M,H,O cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
\(\hat{SMB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MS và dây cung MB
\(\hat{MAB}\) là góc nội tiếp chắn cung MB
Do đó: \(\hat{SMB}=\hat{SAM}\)
Xét (O) có
SM,SN là các tiếp tuyến
Do đó: SM=NS
=>S nằm trên đường trung trực của MN(1)
Ta có: OM=ON
=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)
Từ (1),(2) suy ra SO là đường trung trực của MN
=>SO⊥MN tại E và E là trung điểm của MN
Xét ΔSMO vuông tại M có ME là đường cao
nên \(SE\cdot SO=SM^2\left(3\right)\)
Xét ΔSMB và ΔSAM có
\(\hat{SMB}=\hat{SAM}\)
\(\hat{MSB}\) chung
Do đó: ΔSMB~ΔSAM
=>\(\frac{SM}{SA}=\frac{SB}{SM}\)
=>\(SM^2=SA\cdot SB\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(SA\cdot SB=SE\cdot SO\)
