Ta có : \(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}=\dfrac{2}{xyz}\)
\(\Rightarrow x+y+z=2\)
Ta luôn có Bất đẳng Thức : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\left(1\right)\)
Thật vây, (1) \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm ta được :
\(\left(1\right)\Leftrightarrow3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\ge9\)
\(\Leftrightarrow9\ge9\) ( luôn đúng ).
Áp dụng (1) cho P có :
\(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}=\dfrac{9}{2}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\dfrac{9}{2}\), đạt được khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
