Ta có: \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2ab+2bc+2ac=2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)(1)
Mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\)xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow M=ab+bc+ca-\left(a+b+c\right)+1=3a^2-3a+1\)
\(=\left(\sqrt{3}a\right)^2-2.\sqrt{3}a.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\)
\(=\left(\sqrt{3}a-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)
(Dấu "=" \(\Leftrightarrow\sqrt{3}a-\frac{\sqrt{3}}{2}=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\)
hay \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Vậy \(M_{min}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
giả thiết \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\) (biến đổi tương đương)
Thay xuống: \(M=3a^2-3a+1=3\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=\frac{1}{2}\)
P/s; hướng làm là đưa về 1 biến như vậy đó, khi tính toán có thể có sai số, bạn tự check lại.
Hình đại diện Tiêu Chiến phiên bản cổ trang,hình như là phim Trần Tình Lệnh.
