Bài 3:
a: Xét ΔOKA vuông tại O có OC là đường cao
nên \(CA\cdot CK=OC^2\)
=>\(CA\cdot CK=R^2\)
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực củaBC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC
Xét (O) có
ΔBCD nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBCD vuông tại C
=>BC\(\perp\)CD tại C
Ta có: BC\(\perp\)CD
OA\(\perp\)BC
Do đó: OA//CD
Ta có: OA//CD
OK\(\perp\)OA
Do đó; OK\(\perp\)CD
Ta có: ΔOCD cân tại O
mà OK là đường cao
nên OK là phân giác của góc DOC
Xét ΔODK và ΔOCK có
OD=OC
\(\widehat{DOK}=\widehat{COK}\)
OK chung
Do đó: ΔODK=ΔOCK
=>\(\widehat{ODK}=\widehat{OCK}\)
mà \(\widehat{OCK}=90^0\)
nên \(\widehat{ODK}=90^0\)
=>KD là tiếp tuyến của (O)
c: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AO là tia phân giác của góc BAC
Để ΔABC đều thì \(\widehat{BAC}=60^0\)
=>\(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)
Xét ΔBAO vuông tại B có \(sinBAO=\dfrac{OB}{OA}\)
=>\(\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{1}{2}\)
=>OA=2OB=2R
Vậy: A cách O một đoạn bằng 2R thì ΔABC đều
