\(A=\frac{a^3+b^3-\left(a^2+b^2\right)}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=\frac{a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\)
(chơi 3 cách luôn cho máu :3)
Cách 1, Áp dụng Svacxơ đc
\(A=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}=\frac{t^2}{t-2}\left(t=a+b>2\right)\)
Ta luôn có \(\frac{t^2}{t-2}\ge8\left(1\right)\)thật vậy
\(\left(1\right)\Leftrightarrow t^2\ge8t-16\Leftrightarrow t^2-8t+16\ge0\Leftrightarrow\left(t-4\right)^2\ge0\left(True\right)\)
=> Đpcm
Cách 2, \(A=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge2\sqrt{\frac{a^2.b^2}{\left(b-1\right)\left(a-1\right)}}=2.\frac{a}{\sqrt{a-1}}.\frac{b}{\sqrt{b-1}}\)
Ta đi c/m \(\frac{a}{\sqrt{a-1}}\ge2\left(#\right)\)thật vậy
\(\left(#\right)\Leftrightarrow a\ge2\sqrt{a-1}\Leftrightarrow a^2\ge4a-4\Leftrightarrow a^2-4a+4\ge0\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2\ge0\left(true\right)\)
=> (#) đúng
tương tự\(\frac{b}{\sqrt{b-1}}\ge2\)
\(\Rightarrow A\ge2.2.2=8\)(Đpcm)
Cách 3 , \(A=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}=\frac{\left(a-1+1\right)^2}{b-1}+\frac{\left(b-1+1\right)^2}{a-1}\)
\(=\frac{\left(a-1\right)^2+2\left(a-1\right)+1}{b-1}+\frac{\left(b-1\right)^2+2\left(b-1\right)+1}{a-1}\)
\(=\frac{\left(a-1\right)^2}{b-1}+\frac{2\left(a-1\right)}{b-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{\left(b-1\right)^2}{a-1}+\frac{2\left(b-1\right)}{a-1}+\frac{1}{a-1}\)
\(=\left[\frac{\left(a-1\right)^2}{b-1}+\frac{\left(b-1\right)^2}{a-1}\right]+2\left(\frac{a-1}{b-1}+\frac{b-1}{a-1}\right)+\left(\frac{1}{b-1}+\frac{1}{a-1}\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{\left(a-1\right)^2.\left(b-1\right)^2}{\left(b-1\right)\left(a-1\right)}}+2.2\sqrt{\frac{a-1}{b-1}.\frac{b-1}{a-1}}+\frac{2}{\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}}\)
\(=2\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}+\frac{2}{\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}}+4\)
\(\ge2\sqrt{2\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}.\frac{2}{\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}}}+4\)
\(=2.2+4=8\)
Dấu "=" xảy ra tại a = b = 2
Anh Dw 3 cách máu quá,em làm cách thứ 4 cho nó máu hơn nữa=) :D. Đó chính chọn điểm rơi=)
Biến đổi biểu thức trên về \(A=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\).Ta cần c/m: \(A=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge8\)
Thật vây,ta có: \(A=\left[\frac{a^2}{b-1}+4\left(b-1\right)\right]+\left[\frac{b^2}{a-1}+4\left(a-1\right)\right]-4\left(a+b\right)+8\) (Em làm tắt tí nha)
Áp dụng BĐT AM-GM (CÔ Si) cho mấy cái biểu thức trong ngoặc vuông,ta được:
\(A\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b-1}.4\left(b-1\right)}+2\sqrt{\frac{b^2}{a-1}.4\left(a-1\right)}-4\left(a+b\right)+8\)
\(=2.2a+2.2b-4\left(a+b\right)+8=4\left(a+b\right)-4\left(a+b\right)+8=8^{\left(đpcm\right)}\)
