Lời giải:
Bài 1:
ĐKXĐ: \(x\geq -1\)
Ta có: \(10\sqrt{x^3+1}=3(x^2+2)\)
\(\Leftrightarrow 10\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=3(x^2+2)\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}=a\\ \sqrt{x^2-x+1}=b\end{matrix}\right.(a,b\geq 0)\)
Khi đó: \(a^2+b^2=x^2+2\)
PT trở thành: \(10ab=3(a^2+b^2)\)
\(\Leftrightarrow (3a-b)(a-3b)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} 3a=b\\ a=3b\end{matrix}\right.\)
Nếu \(3a=b\Leftrightarrow 3\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-x+1}\)
\(\Rightarrow 9(x+1)=x^2-x+1\)
\(\Leftrightarrow x^2-10x-8=0\Leftrightarrow x=5\pm \sqrt{33}\) (thỏa mãn)
Nếu \(a=3b\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=3\sqrt{x^2-x+1}\)
\(\Rightarrow x+1=9(x^2-x+1)\)
\(\Leftrightarrow 9x^2-10x+8=0\)
\(\Leftrightarrow (3x-\frac{5}{3})^2+\frac{47}{9}=0\) (pt vô nghiệm)
Vậy \(x=5\pm \sqrt{33}\)
Bài 2:
Đặt \(\sqrt{x}=a, \sqrt{y}=b(a,b\geq 0)\)
Khi đó \(A=2a^2-2ab+b^2-2a+3\)
\(A=(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2a+1)+2\)
\(A=(a-b)^2+(a-1)^2+2\)
Ta thấy
\(\left\{\begin{matrix} (a-b)^2\geq 0\\ (a-1)^2\geq 0\end{matrix}\right., \forall a,b\geq 0\Rightarrow A=(a-b)^2+(a-1)^2+2\geq 2\)
Vậy $A$ có GTNN và GTNN của \(A=2\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a-b=0\\ a-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=1\Leftrightarrow x=y=1\)
