Bài toán sau đây có một lời giải bằng phương pháp S-S tại đây nhưng nó dài dòng và khó hơn SOS nhiều,nên em muốn mọi người dùng sos hoặc là các BĐT cổ điển cũng được (phù hợp với lớp 8 nha)để giải bài này ạ!
Bài toán: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh:
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\ge\frac{8}{9}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
BĐT
<=> \(\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac}{3\left(ac+bc+ac\right)}\ge\frac{8}{9}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)
<=>\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(\frac{a\left(a\left(b+c\right)+bc\right)}{b+c}+...\right)\)
<=> \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(a^2+b^2+c^2+\frac{abc}{b+c}+\frac{abc}{a+c}+\frac{abc}{a+b}\right)\)
<=>\(\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(\frac{abc}{b+c}+\frac{abc}{a+c}+\frac{abc}{a+b}\right)\)
Mà \(\frac{abc}{b+c}\le abc.\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{4}\left(ab+bc\right)\)
Khi đó BĐT
<=>\(\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(\frac{1}{2}\left(ab+bc+ac\right)\right)\)
=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)(luôn đúng )
=> ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Cách này chủ yếu biến đổi tương đương nên chắc phù hợp với lớp 8
Nếu sử dụng SOS nhìn vào sẽ làm đc liền vì có Nesbitt lẫn \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}\)
Sau đây là lời giải sử dụng SOS của em,mọi người xem thử ạ!
Bớt \(\frac{4}{3}\) ở mỗi vế,ta cần chứng minh:
\(\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{ab+bc+ca}\ge\frac{8}{9}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{8}{9}.\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a-b\right)^2}{2}\left(\frac{1}{ab+bc+ca}-\frac{8}{9\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(ab+bc+ca+9c^2\right)\left(a-b\right)^2}{18\left(ab+bc+ca\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)
BĐT đúng do a, b, c là các số thực dương. Ta có Q.E.D
P/s: Đúng không ạ?:3
Lê Nhật Khôi : Nesbitt có áp dụng được vô bài này ??? ngược dấu
Cho em hỏi các bác nào tk sai em xin chỉ ra giúp ạ, chứ tk sai một cách im lặng thế này ko hay đâu nha. Làm sao em tránh đc lỗi sai đó trong những lần sau?
Đúng rồi đấy bạn hoàn toàn phù hợp tiêu chuẩn 1
kết bạn vs e nha e lớp 6
trẻ trâu tth
@shitbo (Cool Kid) Bày đặc gì đây à:)) Định lục lọi câu hỏi t lên rồi xạo với t à:)) a đây giải bài này bên h lâu rồi nhé, 2 cách:))
Giải bài này xem @shitbo:
Với cùng điều kiện: \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\ge\frac{8}{9}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)+\frac{\left(9+4\sqrt{5}\right)\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}{9\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}\)
@Lê Đình Vũ ý mình là SOS
