Câu 13:
1: Xét tứ giác AEMF có
\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=\widehat{FAE}=90^0\)
=>AEMF là hình chữ nhật
2: K đối xứng M qua AC
=>AC là đường trung trực của KM
=>\(AC\perp\)KM tại trung điểm của KM(1)
Ta có: AC\(\perp\)KM
AC\(\perp\)FM
MF,MK có điểm chung là M
Do đó: M,F,K thẳng hàng(2)
Từ (1) và (2) suy ra F là trung điểm của KM
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
MF//AB
Do đó: F là trung điểm của AC
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
ME//AC
Do đó: E là trung điểm của AB
Ta có: \(AE=\dfrac{AB}{2}\)
\(MF=\dfrac{MK}{2}\)
mà AE=MF
nên AB=MK
Ta có: MF//AE
F\(\in\)MK
E\(\in\)AB
Do đó: MK//AB
Ta có: AEMF là hình chữ nhật
=>AM cắt EF tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AM và EF
Xét tứ giác ABMK có
MK//AB
MK=AB
Do đó: ABMK là hình bình hành
=>AM cắt BK tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của AM
nên O là trung điểm của BK
=>B,O,K thẳng hàng
3: Xét tứ giác AMCK có
F là trung điểm chung của AC và MK
=>AMCK là hình bình hành
Hình bình hành AMCK có AC\(\perp\)MK
nên AMCK là hình thoi
=>CA là phân giác của góc KCM
=>\(\widehat{ACB}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{KCM}\)
Ta có: AMCK là hình thoi
=>AK//CM
=>AK//BC
=>ABCK là hình thang
Để ABCK là hình thang cân thì \(\widehat{KCB}=\widehat{ABC}\)
=>\(\widehat{ABC}=2\cdot\widehat{ACB}\)
mà \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)
nên \(\widehat{ABC}=90^0\cdot\dfrac{2}{3}=60^0\)
Ta có: ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên BC=2*AM=10(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có \(sinABC=\dfrac{AC}{BC}\)
=>\(\dfrac{AC}{10}=sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
=>\(AC=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)
ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(AB^2+75=100\)
=>\(AB^2=25\)
=>\(AB=\sqrt{25}=5\left(cm\right)\)
ΔABC vuông tại A
=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot5\cdot5\sqrt{3}=\dfrac{25\sqrt{3}}{2}\left(cm^2\right)\)
