Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=3,AC=4. Kẻ đường cao AH.
(a) Tính độ dài đoạn thẳng AH và số đo góc B ( làm tròn số đo góc đến đơn vị độ )
(b) Gọi I là trung điểm của BC. Qua A kẻ đường thẳng xy vuông góc với AI. Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt xy tại M, đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt xy tại N. Chứng minh tam giác AMB đồng dạng tam giác AIC và tam giác ABI đồng dạng tam giác ACN.
(c) Gọi K là trung điểm của AH. Chứng minh ba điểm B,K,N thẳng hàng.
a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)
=>\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{5^2}{12^2}\)
=>\(AH=\dfrac{12}{5}=2,4\left(cm\right)\)
Xét ΔABC vuông tại A có \(tanB=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{4}{3}\)
nên \(\widehat{B}\simeq53^0\)
b: Ta có: \(\widehat{MAB}+\widehat{IAB}=\widehat{MAI}=90^0\)
\(\widehat{IAC}+\widehat{IAB}=90^0\)
Do đó: \(\widehat{MAB}=\widehat{IAC}\)
Ta có: \(\widehat{ABM}+\widehat{ABC}=90^0;\widehat{ACI}+\widehat{ABC}=90^0\)
Do đó: \(\widehat{ABM}=\widehat{ACI}\)
Xét ΔABM và ΔACI có
\(\widehat{MAB}=\widehat{IAC}\)
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACI}\)
Do đó: ΔABM~ΔACI
=>\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AM}{AI}\)
Ta có: \(\widehat{ABI}+\widehat{ACI}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)
\(\widehat{ACN}+\widehat{ACI}=\widehat{NCI}=90^0\)
Do đó: \(\widehat{ABI}=\widehat{ACN}\)
Ta có: \(\widehat{BAI}+\widehat{IAC}=\widehat{BAC}=90^0;\widehat{CAN}+\widehat{IAC}=90^0\)
Do đó: \(\widehat{BAI}=\widehat{CAN}\)
Xét ΔABI và ΔACN có
\(\widehat{BAI}=\widehat{CAN}\)
\(\widehat{ABI}=\widehat{ACN}\)
Do đó: ΔABI~ΔACN
