Bài 4. Cho (O; R) và đường thẳng d không cắt (O).Điểm M thuộc d. Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) lần lượt tại các tiếp điểm A, B. kẻ OH vuông góc d tại H. Nối AB cắt OH tại K, cắt OM tại I .Tia OM cắt đường tròn (O) tại E. a)Chứng minh rằng: 4 điểm A, O, B, M cùng thuộc 1 đường tròn b) Chứng minh rằng : OK. DH = OI.OM c) Chứng minh: E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB d) Tìm vị trí điểm M trên d để diện tích tam giác OKI đạt giá trị lớn nhất
a: Xét tứ giác AOBM có \(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=90^0+90^0=180^0\)
nên AOBM là tứ giác nội tiếp
=>A,O,B,M cùng thuộc 1 đường tròn
b: Sửa đề: \(OK\cdot OH=OI\cdot OM\)
Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO\(\perp\)AB tại I và I là trung điểm của AB
Xét ΔOIK vuông tại I và ΔOHM vuông tại H có
\(\widehat{IOK}\) chung
Do đó: ΔOIK~ΔOHM
=>\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OK}{OM}\)
=>\(OI\cdot OM=OK\cdot OH\)
c: Ta có: \(\widehat{MAE}+\widehat{OAE}=\widehat{OAM}=90^0\)
\(\widehat{EAI}+\widehat{OEA}=90^0\)(ΔAIE vuông tại I)
mà \(\widehat{OAE}=\widehat{OEA}\)(ΔOAE cân tại O)
nên \(\widehat{MAE}=\widehat{IAE}\)
=>AE là phân giác của góc MAI
Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MO là phân giác của góc AMB
Xét ΔAMB có
MO,AE là các đường phân giác
MO cắt AE tại E
Do đó: E là tâm đường tròn nội tiếp ΔMAB
