Bài 32: Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng d. Qua M kẻ 2 tiếp tuyến Ma, MB tới đường tròn. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d. a) Chứng minh 5 điểm M, A, O, B, H cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi K và I lần lượt là giao điểm của OH và OM với AB. c) Gọi E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB. Giả sử R= 6cm và góc AMB =60°, tỉnh bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác MAB và diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB. d) Tìm vị trí điểm M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất.
a: Ta có: \(\widehat{OAM}=\widehat{OHM}=\widehat{OBM}=90^0\)
=>O,A,H,M,B cùng thuộc đường tròn đường kính OM
c: Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB và MO là phân giác của góc AMB
Xét ΔMAB có MA=MB và \(\widehat{AMB}=60^0\)
nên ΔMAB đều
=>\(\widehat{AMB}=60^0\)
=>\(\widehat{AMO}=\widehat{BMO}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)
Xét ΔOAM vuông tại A có \(tanAMO=\dfrac{OA}{AM}\)
=>\(\dfrac{6}{AM}=tan30=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
=>\(AM=6\sqrt{3}\left(cm\right)\)
ΔMAB đều nên \(C_{MAB}=3\cdot6\sqrt{3}=18\sqrt{3}\left(cm\right)\)
\(S_{MAB}=\left(6\sqrt{3}\right)^2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}=27\sqrt{3}\left(cm\right)\)
\(S=p\cdot r\)
=>\(r\cdot\dfrac{18\sqrt{3}}{2}=27\sqrt{3}\)
=>\(r=3\left(cm\right)\)
Xét tứ giác OAMB có \(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}+\widehat{AOB}+\widehat{AMB}=360^0\)
=>\(\widehat{AOB}+90^0+90^0+60^0=360^0\)
=>\(\widehat{AOB}=120^0\)
\(S_{quạt\left(AOB\right)}=\dfrac{\Omega\cdot6^2\cdot120}{360}=12\Omega\)
\(S_{\text{Δ}OAB}=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot sin120=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot sin120=9\sqrt{3}\)
=>\(S_{vpAB}=12\Omega-9\sqrt{3}\)
