Question

Bài 20: Chứng minh với mọi số nguyên n thì

d) \(\left(n+7\right)^2-\left(n-5\right)^2\)chia hết cho 24

e) \(\left(7n+5\right)^2-25\)chia hết cho 7 với \(n\inℤ\)

f) \(\left(n+6\right)^2-\left(n-6\right)^2\)chia hết cho 24 với \(n\inℤ\)

g) \(n^3-n\)chia hết cho 6 với mọi \(n\inℤ\)

Answer 1

d) ( n + 7 )² - ( n - 5 )²

= n² + 14n + 49 - n² + 10n - 25

= 24n + 24

= 24 ( n + 1 ) chia hết cho 24 ( đpcm )

Answer 2

e) 

( 7n + 5 )² - 25

= ( 7n + 5 )² - 5²

= ( 7n + 5 - 5 ) ( 7n + 5 + 5 )

= 7n ( 7n + 10 ) chia hết cho 7 ( đpcm )

Answer 3

f) ( n + 6 )² - ( n - 6 )²

= ( n + 6 + n - 6 ) ( n + 6 - n + 6 )

= 2n . 12

= 24n chia hết cho 24 ( đpcm )

Answer 4

g) n³ - n

= n ( n² - 1 )

= n ( n - 1 ) ( n + 1 )

mà n-1 ; n và n+1 là 3 số liên tiếp

mặt khác t-í-c-h của 3 số liên tiếp chia hết cho 6

=> n³ - n chia hết cho 6 ( đpcm )

Answer 5

d) \(\left(n+7\right)^2-\left(n-5\right)^2\)

\(=\left(n^2+14n+49\right)-\left(n^2-10n+25\right)\)

\(=n^2+14n+49-n^2+10n-25\)

\(=24n+24=24\left(n+1\right)⋮24\)

e) \(\left(7n+5\right)^2-25\)

\(=49n^2+70n+25-25\)

\(=49n^2+70n\)

\(=7\cdot n\left(7n+10\right)⋮7\forall n\inℤ\)

f) \(\left(n+6\right)^2-\left(n-6\right)^2\)

\(=\left[\left(n+6\right)-\left(n-6\right)\right]\left[\left(n+6\right)+\left(n-6\right)\right]\)

\(=\left(n+6-n+6\right)\left(n+6+n-6\right)\)

\(=12\cdot2n=24n⋮24\forall n\inℤ\)

g) \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)là tích 3 số nguyên liên tiếp nên

\(\hept{\begin{cases}\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2\\\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮6\)( do ƯCLN ( 2,3 ) = 1 )

\(\Rightarrow n^3-n⋮6\forall n\inℤ\)