Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm BC. Đường thẳng qua B và vuông góc với AB cắt tia AD tại E và cắt tia AC tại F. Tia CE cắt tia AB tại G.
a) Chứng minh EB = EC.
b) Chứng minh tam giác ACG bằng tam giác ABF. Từ đó suy ra tam giác AGF cân.
c) Chứng minh BC // GF.
d) Gọi M là trung điểm của GF. Chứng minh GC, FB, AM cùng đi qua một điểm.
a: Ta có: ΔABC cân tại A
mà AD là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC
nên AD là đường cao ứng với cạnh BC
Xét ΔEDB vuông tại D và ΔEDC vuông tại D có
ED chung
DB=DC
Do đó: ΔEDB=ΔEDC
Suy ra: EB=EC
b: Xét ΔABE và ΔACE có
AB=AC
AE chung
EB=EC
Do đó: ΔABE=ΔACE
Suy ra: \(\widehat{ABE}=\widehat{ACE}\)
mà \(\widehat{ABE}=90^0\)
nên \(\widehat{ACE}=90^0\)
Xét ΔABF vuông tại B và ΔACG vuông tại C có
AB=AC
\(\widehat{BAF}\) chung
Do đó: ΔABF=ΔACG
Suy ra: AF=AG
Xét ΔAFG có AF=AG
nên ΔAFG cân tại A
c: Xét ΔAGF có
\(\dfrac{AB}{AG}=\dfrac{AC}{AF}\)
Do đó: BC//GF
d: Xét ΔBEG vuông tại B và ΔCEF vuông tại C có
EB=EC
\(\widehat{BEG}=\widehat{CEF}\)
Do đó: ΔBEG=ΔCEF
Suy ra: EG=EF
Ta có: AG=AF
nên A nằm trên đường trung trực của GF\(\left(1\right)\)
Ta có: EG=EF
nên E nằm trên đường trung trực của GF\(\left(2\right)\)
Ta có: MG=MF
nên M nằm trên đường trung trực của GF\(\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) suy ra A,E,M thẳng hàng
mà GC cắt BF tại E
nên AM,BF,CG đồng quy
