Question

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi hai điêm E, F lân lượt là trung điêm của các cạnh AB, CD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Vì sao ? b) Chứng minh ba đường thẳng AC, BD, EF cùng đi qua một điểm. c) AC cắt các đường thẳng DE và BF lần lượt tại I và K. Chứng minh AI = IK = KC.

Answer 1

Tứ giác BEDF là hình bình hành vì có một đôi viền đối xứngsong song và bằng nhau (BE // DF và BE = DF); ba đường AC, BD, EF đồng quy tại trung điểm của mỗi đường (gọi là O) do tính chất đường chéo hình bình hành; và AI = IK = KC là hệ quả từ định lý đường trung bình và chất đường cắt nhau tại trung điểm, khi E, F là trung điểm thì EF đi qua trung điểm AC (O), và DE cắt AC tại I (trung điểm của AO), BF cắt AC tại K (trung điểm của OC).  a) Tứ giác BEDF là hình gì? Vì sao?Ba tứ giác BEDF:Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD (hay EB // DF).Vì E là trung điểm AB (EB = $\frac{1}{2}$AB) và F là trung điểm CD (DF = $\frac{1}{2}$CD), mà AB = CD (tính chất hình bình hành) nên EB = DF.Tứ giác BEDF có một cặp cạnh đối (EB và DF) vừa song song vừa bằng, suy ra BEDF là hình bình hành .  b) Chứng minh ba đường thẳng AC, BD, EF cùng đi qua một điểm.Gọi O là giao điểm của AC và BD.Vì ABCD là hình bình hành, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm trung tâm của mỗi đường. Vậy O là trung điểm AC và BD.Vì BEDF là hình bình hành (chứng minh ở câu a), hai đường chéo của nó là EF và BD cũng cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.Do đó, EF đi qua trung điểm O của BD.Vì vậy, ba đường thẳng AC, BD, EF cùng đi qua điểm O (trung điểm của các đường chéo).  c) AC cắt DE, BF lần như tại I, K. Chứng minh AI = IK = KC.Đồng giác ABD có E là trung điểm AB. Đường thẳng EI // BD (vì EI // BD) và I nằm trên AC.Trong tam giác ABD, EI đi qua trung điểm một cạnh (AB) và song với cạnh thứ hai (BD), nên EI sẽ cắt cạnh thứ ba (AD) tại trung điểm của AD, nhưng quan trọng là EI cắt đường chéo BD tại trung điểm của BD (là O), và nó cũng cắt AC tại trung điểm của AO (nếu tam giác ABD có đường trung bình đi qua trung điểm AC) - cách khác: tam giác ABD có E là điểm AB, đường thẳng qua trung E // BD (chính là DE) thì sai .Cách 1: sừng tam giác AB D: E là trung điểm AB. Đường cắt DE AC tại I.Ta có EB // DI (vì AB // CD).Cuối cùng giác giác ABD có EI // BD (do EF // BD), E là trung điểm AB. Dấu hiệu đường trung bình không áp dụng trực tiếp ở đây.Đuôi tam giác AB D có E là trung điểm AB, đường thẳng EI đi qua E song song với BD (vì EF // BD) => I là trung điểm của AO (tính chất đường trung bình trong tam giác có đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh song với cạnh thứ hai) .=> Trí tuệ nhân tạo = Đầu vào/Đầu ra.Đồng giác BCD có F là CD trung điểm. Đường thẳng FK // BD (vì EF // BD), K nằm trên AC.Trong tam giác BCD, FK đi qua trung điểm của CD và bài hát với BD, nên FK sẽ cắt BC tại trung điểm của BC (không dùng).Đòi tam giác BCD có F là trung điểm CD, đường thẳng FK đi qua F song với BD (vì EF // BD) => K là trung điểm của OC (tính chất đường trung bình).=> OK = KC.Ta có AC = AO + OC.Vì O là trung điểm AC (O nằm trên AC).AI = IO = $\frac{1}{2}$AO.OK = KC = $\frac{1}{2}$OC.Mà AO = OC (do O là trung điểm AC).=> AI = IO = OK = KC.Từ đó, ta có **AI = IK =