Bài 13: Cho đường tròn (O; R), vẽ dây CD (R < CD < 2R). Gọi H là trung điểm của dây CD, lấy S là điểm bất kỳ thuộc tia đối của tia DC. Kẻ các tiếp tuyến SA, SB của đường tròn (O), sao cho (A, B là các tiếp điểm). Đoạn thẳng AB cắt đoạn thẳng SO tại E, và đường thẳng AB cắt đường thẳng OH tại F. a. Chứng minh: Bốn điểm S, A, O, B cùng thuộc một đường tròn. b. Chứng minh: OS vuông góc với AB và OE.OS = OH.OF. c. Chứng minh: FC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
a: Xét tứ giác SAOB có \(\hat{SAO}+\hat{SBO}=90^0+90^0=180^0\)
nên SAOB là tứ giác nội tiếp
=>S,A,O,B cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
SA,SB là các tiếp tuyến
Do đó: SA=SB
=>S nằm trên đường trung trực của AB(1)
TA có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra SO là đường trung trực của AB
=>SO⊥AB tại E và E là trung điểm của AB
Xét ΔOCD cân tại O có OH là đường trung tuyến
nên OH⊥CD tại H
Xét ΔOHS vuông tại H và ΔOEF vuông tại E có
góc HOS chung
Do đó: ΔOHS~ΔOEF
=>\(\frac{OH}{OE}=\frac{OS}{OF}\)
=>\(OH\cdot OF=OE\cdot OS\)
c: Xét ΔOAS vuông tại A có AE là đường cao
nên \(OE\cdot OS=OA^2\)
=>\(OE\cdot OS=OA^2=OC^2\)
=>\(OH\cdot OF=OC^2\)
=>\(\frac{OH}{OC}=\frac{OC}{OF}\)
Xét ΔOHC và ΔOCF có
\(\frac{OH}{OC}=\frac{OC}{OF}\)
góc HOC chung
Do đó; ΔOHC~ΔOCF
=>\(\hat{OHC}=\hat{OCF}\)
=>\(\hat{OCF}=90^0\)
=>FC là tiếp tuyến của (O)
