Bài 10: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Qua B kẻ đường thẳng a vuông góc với DB, đường thẳng a cắt đường thẳng DC tại E. a) Chứng minh ∆ECB đồng dạng ∆EBD b) Chứng minh BC2 = DC.CE và tính độ dài CE. c) Kẻ CH vuông góc với BE tại H. Tính tỉ số diện tích ∆EHC và diện tích ∆EBD. d) Đoạn thẳng OE cắt BC tại I. Chứng minh ba điểm D, I, H thẳng hàng.
a: Xét ΔECB vuông tại C và ΔEBD vuông tại B có
\(\widehat{CEB}\) chung
Do đó: ΔECB~ΔEBD
b: Xét ΔCBE vuông tại C và ΔCDB vuông tại C có
\(\widehat{CBE}=\widehat{CDB}\left(=90^0-\widehat{BEC}\right)\)
Do đó: ΔCBE~ΔCDB
=>\(\dfrac{CB}{CD}=\dfrac{CE}{CB}\)
=>\(CB^2=CD\cdot CE\)
=>\(CE=\dfrac{CB^2}{CD}=\dfrac{6^2}{8}=4,5\left(cm\right)\)
c: Xét ΔEHC vuông tại H và ΔEBD vuông tại B có
\(\widehat{HEC}\) chung
Do đó: ΔEHC~ΔEBD
=>\(\dfrac{S_{EHC}}{S_{EBD}}=\left(\dfrac{EC}{ED}\right)^2=\left(\dfrac{EC}{EC+CD}\right)^2=\left(\dfrac{4.5}{4.5+8}\right)^2=\dfrac{81}{625}\)
