Bài 2:
\(x^2+2\left(m-2\right)x-2m+1=0\left(1\right)\)
Xét phương trình(1) có:
\(\Delta=4\left(m-2\right)^2-4\left(1-2m\right)\)
= \(4m^2-8m+12\)
= \(\left(2m-2\right)^2+8\)
Ta có: \(\left(2m-2\right)^2>0\) với mọi m
\(\Rightarrow\left(2m-2\right)^2+8>0\) với mọi m
\(\Leftrightarrow\Delta>0\)
\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4-2m\\x_1.x_2=1-2m\end{matrix}\right.\)
Để phương trình có 2 nghiệm dương \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2>0\\x_1.x_2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-2m>0\\1-2m>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\m< \dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m< \dfrac{1}{2}\)
Vậy với \(m< \dfrac{1}{2}\) thì phương trình đã cho có 2 nghiệm dương