Bài 1: Chứng minh rằng (x, y, z > 0)
Bài 2: Cho a + b + c > 0; abc > 0; ab + bc + ca > 0. Chứng minh rằng a > 0; b > 0; c > 0.
Bài 3: Chứng minh rằng (a, b, c > 0)
Bài 4: Chứng minh rằng (a + b) (b + c) (c + a) 8abc (a, b, c
0)
Bài 5: Chứng minh rằng (a, b, c, d
0)
Bài 6: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn .
Chứng minh .
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng (a+b-c) (b+c-a) (c+a-b) ab.
Bài 8: Cho x, y, z > 0; x+y+z = 1. Chứng minh rằng .
Bài 9: Cho 2 số có tổng không đổi. Chứng minh rằng tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau.
Bài 10: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
3) Đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z.
=>a=(y+z-x)/2 ; b=(x+z-y)/2 ; c=(x+y-z)/2
BĐT cần CM <=> \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\)
VT=\(\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)-3\right]\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)(Cauchy)
Dấu''='' tự giải ra nhá
Bài 4
dễ chứng minh \(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(a+c\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)
rồi khai căn ra \(\Rightarrow\)dpcm.
đấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
bài 1 \(\left(\frac{x}{y}\right)^2+\left(\frac{y}{z}\right)^2\ge2\times\frac{x}{y}\times\frac{y}{z}=2\frac{x}{z}\)
làm tương tự rồi cộng các vế các bất đẳng thức lại với nhau ta có dpcm ( cộng xong bạn đặt 2 ra ngoài ý, mk ngại viết nhiều hhehe)
Do bạn đăng quá nhiều nên mình hướng dẫn thôi nhé !!
Bài 2: cái này quá dễ
Bài 4: áp dụng BDT CÔ si 4 số
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\sqrt[4]{\left(abcd\right)^2}\)
\(=4\left(abcd\right)^{\frac{1}{4}\cdot2}=4\left(abcd\right)^{\frac{1}{2}}=4\sqrt{abcd}\)
Khi a=b=c=d
Bài 6: Theo BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có:
\(\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\)
Tương tự rồi cộng theo vế
\(VT\le\frac{1}{16}\left(4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\right)=\frac{1}{16}\cdot4\cdot4=1\)
Bài 6:
Áp dụng BĐT cô si ta có:
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=\frac{2b}{2}=b\)
Tương tự rồi nhân theo vế
\(\sqrt{\left(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\right)^2}\le abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)
Khi a=b=c
Bài 8:
Áp dụng BĐT S-vác có:
\(VT=\frac{3}{xy+yz+xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\frac{6}{2xy+2yz+2xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(=\frac{\sqrt{6}^2}{2xy+2yz+2xz}+\frac{\sqrt{2}^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+y^2+z^2}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2>14\)
Bài 10:
Áp dụng BĐT CÔ si ta có:
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{a}{bc}\cdot\frac{b}{ca}}=\frac{2}{c}\)
TƯơng tự rồi cộng theo vế
KHi a=b=c=
