Question

Bài 1: Cho x + y = -3 và x.y = -28. Tính giá trị các biểu thức sau theo m,n.

a) x^2 + y^2    b) x^3 + y^3    c) x^4 + y^4

Bài 2: Chứng minh rằng:

a) a^2 + b^2 + c^2 +d^2 >_ ab+ac+ad

b) a^2 + 4b^2 +4c^2 >_ 4ab - 4ac + 8bc

Bài 3: Chứng minh rằng:

Nếu x + y + z = 0 thì x^3 + y^3 + z^ 3 = 3xyz

Bài 4: Chứng minh : a^2 + 4b^2 + 4c^2 >_  4ab - 4ac + 8bc

( Viết về dạng bình phương của một tổng)

GIÚP MÌNH VỚI Ạ!!!!!!!!!!!!

Answer 1

Bài 1 : 

a) \(x^2+y^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2-2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=\left(-3\right)^2-2.\left(-28\right)=65\)

b) \(x^3+y^3\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2+2xy+y^2-3xy\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]=\left(-3\right)\left[\left(-3\right)^2-3.\left(-28\right)\right]=-279\)

c) \(x^4+y^4\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^4-4x^3y-4xy^3-6x^2y^2=\left(-3\right)^4-4\left(-28\right).65-6\left(-28\right)^2=2657\)

Answer 2

Bài 3:

Có:    \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3\)

=>     \(x^3+y^3+z^3=\left(-z\right)^3-3xy.-z+z^3\)

=>     \(x^3+y^3+z^3=-z^3+z^3+3xyz=3xyz\)

=> TA CÓ ĐPCM.

VẬY      \(x+y+z=0\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Answer 3

Bài 2 :

a) Giả sử  \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge ab+ac+ad\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2-ab-ac-ad\ge0\)

\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2-4ab-4ac-4ad\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d^2\right)\ge0\)( luôn đúng )

\(\RightarrowĐPCM\)

b) Sửa đề : \(a^2+4b^2+4c^2\ge2ab-2ac+4bc\)

Ta có : \(\left(a+2c\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+4c^2\ge-4ac\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT Cô - si ta có :

\(\hept{\begin{cases}a^2+4b^2\ge4ab\left(2\right)\\4b^2+4c^2\ge8bc\left(3\right)\end{cases}}\)

(1) + (2) + (3) 

\(\Leftrightarrow2a^2+8b^2+8c^2\ge4ab-4ac+8bc\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+4b^2+4c^2\right)\ge4\left(ab-ac+2bc\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+4b^2+4c^2\ge2ab-2ac+4bc\)

Answer 4

2. a

\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge ab+ac+ad\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-ab+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ac+c^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ad+d^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

=> Đpcm