Bài 1: Cho tứ giác ABCD. Trên AB, CD lần lượt lấy M, N, P, Q sao cho AM= MN= NB, CP= PQ= QD. Chứng minh rằng \(S_{MNPQ}=\frac{1}{3}S_{ABCD}.\)
Bài 2: Cho tam giác ABC. Trên một nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, dựng các hình bình hành BCEF, ACKL, ABMN sao cho E, F lần lượt nằm trên KL, MN. Chứng minh rằng \(S_{BCEF}=S_{ACKL}+S_{ABMN}.\)
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. P là điểm bất kì nằm trong tứ giác ABCD sao cho \(S_{APB}+S_{CPD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}.\)Gọi M,N lần lượt là trung điểm AC, BD. Chứng minh rằng P, M, N thẳng hàng.
Giúp mình với! Mình cần gấp.
Bai 1
Bo de : \(\Delta ABC\) trung tuyen AD
\(\Rightarrow S_{ADB}=S_{ADC}\)
cai nay ban tu chung minh nha
Ap dung bo de va bai nay => \(S_{MNPQ}=S_{MQP}+S_{MNP}=\frac{1}{3}S_{MDC}+\frac{1}{3}S_{ABP}\)
ta phai chung minh \(S_{MDC}+S_{ABP}=S_{ABCD}\)
That vay co \(S_{AMP}=S_{AMD},S_{MBP}=S_{MBC}\)
=> \(S_{ABP}+S_{MDC}=S_{ADM}+S_{MDC}+S_{MBC}=S_{ABCD}\)
=> dpcm
Hình như sai ở dòng thứ 2 từ dưới lên trên ấy
dung toi do ban chac ban ve hinh khac mik nen chac nhin khong giong thoi chu mik kiem tra lai roi do
Bải 1: \(S_{MNPQ}=S_{MNP}+S_{MQP}=\frac{1}{2}\left(S_{MPB}+S_{MPD}\right)=\frac{1}{2}S_{DMBP}\)
\(=\frac{1}{2}\left(S_{BMD}+S_{BPD}\right)=\frac{1}{2}\left(2S_{MAD}+2S_{DBC}\right)=\frac{1}{3}\left(S_{BAD}+S_{BCD}\right)=\frac{1}{3}S_{ABCD}\)
Bài 2: Lấy điểm D sao cho AD || BF || CE và AD = BF = CE.
Ta có: \(S_{ACKL}+S_{ABMN}=2S_{AEC}+2S_{AFB}=S_{ADBF}+S_{ADCE}\)
Vì ADBF,ACDE,BCEF là các hình bình hành, d(AD,BF) + d(AD,CE) = d(BF,CE) nên \(S_{ADBF}+S_{ADCE}=S_{BCEF}\)
Vậy \(S_{ACKL}+S_{ABMN}=S_{BCEF}.\)
Bài 3: Giả sử tia AB cắt tia DC tại I. Lấy K,L sao cho K,L lần lượt đối xứng với B,C qua trung điểm của AI,DI.
Vì BA = KI, DC = IL nên \(\frac{1}{2}S_{ABCD}=S_{APB}+S_{CPD}=S_{IPK}+S_{IPL}=S_{PKIL}\)
Tương tự \(S_{MKIL}=S_{MKI}+S_{MLI}=S_{MBA}+S_{MCD}=\frac{1}{2}\left(S_{ABC}+S_{ADC}\right)=\frac{1}{2}S_{ABCD}\)
Do đó \(S_{PKIL}=S_{MKIL}\) hay \(S_{KPL}=S_{KML}\). Suy ra d(P,KL) = d(M,KL) hay PM || KL
Tương tự ta cũng có PN || KL. Vậy M,P,N thẳng hàng theo tiên đề Euclid.
