Bài 1: Cho ΔABC có AB=AC. M là trung điểm của BC
a) Chứng minh ΔAMB = ΔAMC
b) Từ M kẻ ME vuông góc AB và MF vuông góc AC. Chứng minh AE=AF
c) Chứng minh EF // BC
d) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc AB. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc AC. Hai đường thẳng này cắt nhau tại N. Chứng minh A, M, N thẳng hàng
Bài 2: Cho ΔABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho AB=BE. Tia phân giác của ∠B cắt AC tại D.
a) Chứng minh ΔABD = ΔEBD.
b) Chứng minh BD là đường trung trực của AE
c) Kẻ AH vuông góc BC ( H ∈ BC) .Chứng minh AH // DE
d) Chứng minh ∠ABC = ∠EDC
e) Gọi K là giao điểm của ED và BA, M là trung điểm của KC. Chứng minh B, D, M thẳng hàng
Bài 1:
a: Xét ΔAMB và ΔAMC có
AM chung
MB=MC
AB=AC
Do đó: ΔAMB=ΔAMC
b: ΔAMB=ΔAMC
=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MAC}\)
Xét ΔAEM vuông tại E và ΔAFM vuông tại F có
AM chung
\(\widehat{EAM}=\widehat{FAM}\)
Do đó: ΔAEM=ΔAFM
=>AE=AF
c: Xét ΔABC có \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
nên EF//BC
d: Xét ΔABN vuông tại N và ΔACN vuông tại C có
AN chung
AB=AC
Do đó: ΔABN=ΔACN
=>NB=NC
=>N nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: MB=MC
=>M nằm trên đường trung trực của BC(2)
Ta có: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra A,M,N thẳng hàng
Bài 2:
a: Xét ΔBAD và ΔBED có
BA=BE
\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)
BD chung
Do đó: ΔBAD=ΔBED
b: ΔBAD=ΔBED
=>DA=DE
=>D nằm trên đường trung trực của AE(1)
Ta có: BA=BE
=>B nằm trên đường trung trực của AE(2)
Từ (1),(2) suy ra BD là đường trung trực của AE
c: ΔBAD=ΔBED
=>\(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)
=>\(\widehat{BED}=90^0\)
=>DE\(\perp\)BC
mà AH\(\perp\)BC
nên AH//DE
d: Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)
\(\widehat{EDC}+\widehat{ACB}=90^0\)(ΔDEC vuông tại E)
Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{EDC}\)
e: Xét ΔDAK vuông tại A và ΔDEC vuông tại E có
DA=DE
\(\widehat{ADK}=\widehat{EDC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔDAK=ΔDEC
=>DK=DC
=>D nằm trên đường trung trực của KC(1)
Ta có: MK=MC
=>M nằm trên đường trung trực của KC(2)
Ta có; ΔDAK=ΔDEC
=>AK=EC
Ta có: BA+AK=BK
BE+EC=BC
mà BA=BE và AK=EC
nên BK=BC
=>B nằm trên đường trung trực của KC(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra B,D,M thẳng hàng
