Question

Bài 1: (3 điểm) Cho hình thoi ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Đường thẳng qua O không song song với AD cắt AB tại M và CD tại N.

a) Chứng minh ΔAOM = ΔCON.

b) Chứng tỏ tứ giác AMCN là hình bình hành

Answer 1

Do ABCD là hình thoi :

=) AB // CD=) AM // CN

Do AM // CN

=) \(\widehat{MAO}\)=\(\widehat{NCO}\) ( 2 góc so le trong )

Do ABCD là hình thoi:

Mà O là giao điểm của 2 đường chéo

=) AO=CO   ( vì hình thoi có tất cả các tính chất hình bình hành )  =) O là trung điểm của AC

Xét tam giác AOM và tam giác CON có :

\(\widehat{AOM}\)=\(\widehat{CON}\)( đối đỉnh )

AO=CO

\(\widehat{MAO}\)=\(\widehat{NCO}\)(chứng minh trên)

=) Tam giác AOM = Tam giác CON ( g-c-g )

b) Do tam giác AOM = Tam giác CON ( chứng minh phần a)

=) OM=ON (2 cạch tương ứng)

=) O là trung điểm của MN

Xét tứ giác AMCN có :

2 đường chéo AC và MN cắt nhau tại trung điểm O

=) AMCN là hình bình hành

Answer 2

a) Trong hình thoi ABCD có:

   \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\)(2 góc đối của hình thoi)

\(\Rightarrow\widehat{BAO}+\widehat{OAD}=\widehat{BCO}+\widehat{OCD}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAO}=\widehat{OAD}=\widehat{BCO}=\widehat{OCD}\)(2 đường chéo là tia phân giác của các góc)

\(\Rightarrow\widehat{MAO}=\widehat{OAD}=\widehat{BCO}=\widehat{OCD}\)

Xét \(\Delta AOM\)và \(\Delta CON\)có:

\(\widehat{MOA}=\widehat{NOC}\)(2 góc đối đỉnh)

\(OA=OC\)(2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

\(\widehat{MAO}=\widehat{NCO}\)(Chứng minh trên)

Do đó \(\Delta AOM=\Delta CON\left(g.c.g\right)\)

b) Vì \(\Delta AOM=\Delta CON\)(câu a)

\(\Rightarrow OM=ON\)(2 cạnh tương ứng)

Tứ giác AMCN có: 

    OA = OC (gt)

    OM = ON (chứng minh trên)

\(\Rightarrow\)Tứ giác AMCN là hình bình hành