Question

b) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh (p + 2009)(p + 2011)
chia hết cho 24.

Answer 1

p là số nguyên tố lớn hơn 3 => p chia hết cho 3, p chia 3 dư 1, p chia 3 dư 2
bạn xét từng trường hợp của p rồi thay vào là được

Answer 2

+) p là số nguyên tố lớn hơn 3 

=> p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2

Với p = 3k + 1 ta có: ( p + 2009 ) ( p + 2011 ) = ( 3k + 2010) ( 3k + 2012 ) = 3( k + 670 ) ( 3k + 2012 ) \(⋮\)3

Với p = 3k + 2 ta có: ( p + 2009 ) ( p + 2011 ) = ( 3k + 2011) ( 3k + 2013) = 3( 3k + 2011 ) ( k + 671 ) \(⋮\)3

=>  ( p + 2009 ) ( p + 2011 )  \(⋮\)3 (1)

+) p là số nguyên tố lớn hơn 4 

=> p có dạng 4k + 1 hoặc 4k + 3

Với p = 4k + 1 ta có: ( p + 2009 ) ( p + 2011 ) = ( 4k + 2010) ( 4k + 2012 ) = 8( 2k + 1005 ) ( k + 503 ) \(⋮\)8

Với p = 4k + 3 ta có: ( p + 2009 ) ( p + 2011 ) = ( 4k + 2012) ( 4k + 2014) = 8( k + 503 ) ( 2k + 1007 ) \(⋮\)8

=> ( p + 2009 ) ( p + 2011 )  \(⋮\)8 (2)

Từ (1) ; (2) và ( 3; 8) = 1; 3.8 = 24

=> ( p + 2009 ) ( p + 2011 )  \(⋮\)24.